常见间断点的类型及其分类
间断点是函数在某点不连续的点,分为第一类和第二类,包括可去、跳跃、无穷和振荡间断点。
第一类间断点
第一类间断点是指函数在某点的左右极限都存在,但函数在该点不连续。这类间断点可以进一步分为
可去间断点
和
跳跃间断点
。在可去间断点,函数在某点的左右极限相等,但函数在该点无定义或函数值不等于该极限值。例如,函数
f
(
x
)
=
sin
x
x
f(x) = \frac{\sin x}{x}
f
(
x
)
=
x
s
i
n
x
在
x
=
0
x = 0
x
=
0
处是可去间断点,因为
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
lim
x
→
0
x
s
i
n
x
=
1
,
但
f
(
0
)
f(0)
f
(
0
)
无定义
。
Expand
第二类间断点
第二类间断点是指函数在某点的左右极限至少有一个不存在。这类间断点可以进一步分为
无穷间断点
和
振荡间断点
。在无穷间断点,函数在某点的左右极限至少有一个是无穷大。例如,函数
f
(
x
)
=
1
x
f(x) = \frac{1}{x}
f
(
x
)
=
x
1
在
x
=
0
x = 0
x
=
0
处是无穷间断点,因为
lim
x
→
0
+
1
x
=
+
∞
\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty
lim
x
→
0
+
x
1
=
+
∞
和
lim
x
→
0
−
[
1
x
=
−
∞
\lim_{x \to 0^-[} \frac{1}{x} = -\infty
lim
x
→
0
−
[
x
1
=
−
∞
](
https://www.cnblogs.com/augustone/p/18019913)。
Expand
可去间断点
可去间断点是指函数在某点的左右极限存在且相等,但函数在该点无定义或函数值不等于该极限值。通过重新定义函数在该点的值为左右极限的值,可以“去除”这种间断。例如,函数
f
(
x
)
=
x
2
−
1
x
−
1
f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}
f
(
x
)
=
x
−
1
x
2
−
1
在
x
=
1
x = 1
x
=
1
处是可去间断点,因为
lim
x
→
1
x
2
−
1
x
−
1
=
2
\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2
lim
x
→
1
x
−
1
x
2
−
1
=
2
,但
f
(
1
)
f(1)
f
(
1
)
无定义。
Expand
跳跃间断点
跳跃间断点是指函数在某点的左右极限存在但不相等。这种间断是由于函数在该点的左右两侧的行为有“跳跃”造成的。例如,符号函数
sgn
(
x
)
\operatorname{sgn}(x)
sgn
(
x
)
在
x
=
0
x = 0
x
=
0
处是跳跃间断点,因为
lim
x
→
0
−
sgn
(
x
)
=
−
1
\lim_{x \to 0^-} \operatorname{sgn}(x) = -1
lim
x
→
0
−
sgn
(
x
)
=
−
1
和
lim
x
→
0
+
sgn
(
x
)
=
1
\lim_{x \to 0^+} \operatorname{sgn}(x) = 1
lim
x
→
0
+
sgn
(
x
)
=
1
。
Expand
无穷间断点
无穷间断点是指函数在某点的左右极限至少有一个是无穷大。这种间断通常发生在函数在某点附近急剧增加或减少的情况下。例如,函数
f
(
x
)
=
1
x
f(x) = \frac{1}{x}
f
(
x
)
=
x
1
在
x
=
0
x = 0
x
=
0
处是无穷间断点,因为
lim
x
→
0
+
1
x
=
+
∞
\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty
lim
x
→
0
+
x
1
=
+
∞
和
lim
x
→
0
−
1
x
=
−
∞
\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty
lim
x
→
0
−
x
1
=
−
∞
。
Expand
振荡间断点
振荡间断点是指函数在某点的左右极限不存在是因为函数在趋近该点时来回振荡,没有稳定的趋势。例如,函数
f
(
x
)
=
sin
1
x
f(x) = \sin \frac{1}{x}
f
(
x
)
=
sin
x
1
在
x
=
0
x = 0
x
=
0
处是振荡间断点,因为函数在
x
x
x
趋近于 0 时在
−
1
-1
−
1
和
1
1
1
之间振荡。
Expand